March 2009
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“Your time is limited, so don’t waste it living someone else’s life....”
– Text of Steve Jobs’ Commencement address (2005)
December 2008
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November 2008
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Muichkine、タイムラインを不完全性占拠
Muichkine: twitterでAAを書く方法はないのだろうか [http://twitter.com/Muichkine/status/1019199998]
Muichkine: さて、twitterを地獄に叩き落す準備がととのったな。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019207605]
Muichkine: ゲーデルの不完全性定理を『ゲーデル・エッシャー・バッハ』略してGEBにしたがってtwitter上で紹介するというはた迷惑な企画。30ポストで収まることが判明したので実行。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019220761]
Muichkine: ◆1◆準備。語句の説明[TNT][定理][形式システム][ゲーデル数化][原始再帰関数][クワイン化] [http://twitter.com/Muichkine/status/1019220851]
Muichkine: (1_1_1)[TNT]とは字形的数論(Typographical Number Teory)の略である。TNTとは自然数論と同形対応をなす程度にリッチな形式システムである。その公理と推論規則についてはここでは紹介しない。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019220908]
Muichkine: (1_1_2)TNTにおける[定理]とは、公理から推論規則により演繹される命題である。また事後的な説明となるが[形式システム]とは公理と推論規則により、定理を漸次的に生成していくシステムである。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019221001]
Muichkine: (1_1_3)ある式がTNTの命題であるとき、こんな形をしている「～∃a:a・a=sso」これは「平方が２になるような数は存在しない」という数論上の命題をTNTに翻訳したものである。具体的に記号を説明することはしないが数論上の正しい命題はTNTにおいても定理となると考えてよい。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019221344]
Muichkine: (1_2)[ゲーデル数化]によりTNTの命題と自然数を対応付けることができる。このとき命題が定理であるかどうかは関係ない。プログラムのコード化のようなもの。またこの操作により、推論規則による命題の変形は、ゲーデル数に対する算術的操作と対応づけられる。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019221466]
Muichkine: (1_3_1)[クワイン化]とは哲学者クワインによる。たとえば「は八文字から成る」をクワイン化すると「『は八文字から成る』は八文字から成る」となる。これは自己言及的に見えるが、真の自己言及とはいえない。なぜなら、「『は八文字から成る』は八文字から成る」は八文字ではないからである。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019221617]
Muichkine: (1_3_2)では、「『はクワイン化されると踊りだす』はクワイン化されると踊りだす」ではどうか？ クワイン化という操作について言及する文をクワイン化することで、この文は自己言及的な文になりうる。さて「『はその引用が先立つと虚偽を生む』はその引用が先立つと虚偽を生む」では？ [http://twitter.com/Muichkine/status/1019221825]
Muichkine: (1_4)コンピュータのプログラムのように、簡単なステップを繰り返して計算を行うとき、有限のステップ数で計算が終了することが予測可能な範囲の関数を[原始再帰関数]と呼び、これはTNTによって表現できることが知られている。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019222066]
Muichkine: ◆１◆終了 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019222205]
Muichkine: ◆2◆準備二段階目。二つの原始再帰関数[算術的クワイン化][TNT証明対] [http://twitter.com/Muichkine/status/1019223529]
Muichkine: (2_1_0)算術的クワイン化の図☆ http://gyazo.com/bcbca3d30da094943b656deeb8718954.png [http://twitter.com/Muichkine/status/1019223637]
Muichkine: (2_1_1)ある式A（TNTの命題）のゲーデル数を[算術的にクワイン化]するとは、Aのゲーデル数自身をAの自由変数に代入した式Bのゲーデル数が手に入ることを指す。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019223747]
Muichkine: (2_1_2_1)Aは開けた式、つまり自由変数を持つ式（たとえばa+1=0）であるが、Bは閉じた式すなわちTNTの定理か非定理かを判別できる式である。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019223892]
Muichkine: (2_1_2_2)閉じた式とはたとえば5+1=0だが、ここではAのゲーデル数g(A)が入りg(A)+1=0となる、g(A)は莫大だが具体的な自然数であるとイメージするように、当然ここでBは非定理である。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019224034]
Muichkine: (2_2_0)TNT証明対の図★ http://gyazo.com/5ca961d52a55f97877c55a511243e460.png [http://twitter.com/Muichkine/status/1019224176]
Muichkine: (2_2_1)ある式A'のゲーデル数と[TNT証明対]（ある式A'のゲーデル数g(A')にたいして、A'を得るための妥当な導出過程を全てゲーデル数化したものとの間に成立する性質で）を形成するような数が存在するとき、ある式はTNTの定理である。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019224258]
Muichkine: (2_2_2)つまりTNT証明対という概念を導入することで「g(A')とTNT証明対を形成するような数が存在する（しない）」という命題により「A'はTNTの定理である（ない）」という表現を形式システムの中で可能にしている。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019224374]
Muichkine: (2_3)算術的クワイン化を実行すること、TNT証明対であることをチェックすることは原始再帰的であることがわかるので、TNTで記述できる。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019224520]
Muichkine: ◆２◆終了、ここまでまったくなんにも面白くない。後で参照すればいいレベル。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019224844]
Muichkine: ◆3◆本番。今まででてきた[キーワード]を武器として使用するのだ。[キーワード]の背景には数学的な性質がちゃんと控えてはいるのだけど、論理を追うだけなら、[キーワード]の操作で可能だ。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019225918]
Muichkine: (3_1_1)式Cを用意する。そのゲーデル数g(C)を算術的にクワイン化すると、ｇ(C)をCに代入した式Gのゲーデル数、つまりg(G)が手に入る。図☆を参照。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019226020]
Muichkine: (3_1_2)注意しておこう。 G＝"g(C)をCに代入した式”であり g(G)＝”g(C)を算術的にクワイン化した数”である。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019226106]
Muichkine: (3_2)ここで、Cをこのように定義する「＜ある数＞を算術的にクワイン化した数とTNT証明対を形成するような数は存在しない」と宣言する式であると。先のAと同じように＜ある数＞という自由変数をもつため開けている。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019226246]
Muichkine: (3_3)Gを見ると、Gは“g(C)をCに代入した式”、つまりCを書き下した定義の＜ある数＞の部分に＜g(C)＞を代入した式であるので「＜g(C)＞を算術的にクワイン化した数とTNT証明対を形成するような数は存在しない」※と宣言する式である。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019226343]
Muichkine: (3_4)しかし、ここでg(G)は“g(C)を算術的にクワイン化した数”であったので、※を言い換えると、Gは「g(G)とTNT証明対を形成するような数は存在しない」さらに言い換えると「GはTNTの定理ではない」となる。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019226437]
Muichkine: (3_5)自己言及するTNT命題のできあがり！Gも、そしてその否定￢GもTNTの定理ではない。基本的にはどのような形式システムでもこのような命題を構成できるというのがゲーデルの第一不完全性定理。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019226563]
Muichkine: (3_6)あるシステムは無矛盾であるという命題をこのGとからめて、その非定理性を証明し、システムが無矛盾であることはそのシステムの中では証明できないとしたのが第二不完全性定理。■ [http://twitter.com/Muichkine/status/1019226711]
Muichkine: 完全終了。これで不完全性定理もばっちりだね！やったね！ [http://twitter.com/Muichkine/status/1019227196]
Muichkine: 言いたいこと。ゲーデルの不完全性定理の面白さは、ゲーデル文Gの自己言及性そのものにはないということ。さらにGと￢Gが非定理なのは別にパラドキシカルでもなんでもないこと。なんならどちらか公理にしてしまえばいいし。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019234937]
Muichkine: 形式システムに穴があるのは当然だという信念がここで養える。面白いのはゲーデル数化と算術的クワイン化のあわせ技で「この文」とか「わたし」という安易な自己言及ワードが使えない形式システムにいかに自己言及をさせるかというところ、やばい。 [http://twitter.com/Muichkine/status/1019235126]
“モデリングの話でよく実験屋が言うのは、「そんなモデルなんて恣意的に選べてしまうのだから、それで何が分かったと言えるの？」ということ。この手の問題は、実験屋の無理解...”
– 2008-11-10 - はてなに学ぶ
“同じ笑顔してた
そんな僕らも幾年も重ね過ぎて
すれ違う景色を
受け入れられずにもがいてる”
– フレンズ ステファニー 歌詞情報 - goo 音楽
October 2008
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“GEBの内容を一言で説明するのはむずかしい。中心となっているテーマは「自己言及」だが、これが数学におけるゲーデルの不完全性定理、計算機科学におけるチューリングの定...”
– ゲーデル、エッシャー、バッハ - Wikipedia
“対偶法（￢は否定）：命題P⇒Qを証明する代わりに、これと同値な￢Q⇒￢Pを証明する方法。
背理法（∧は連言）：命題P⇒Qを証明する代わりに、P∧￢Qを仮定して矛...”
– 証明 - Wikipedia
“Poissonという人は昔の偉い数学者、物理学者なのですが、こないだ後輩がフランス語で poisson...”
– 無題ドキュメント
“5月29日 数学の勉強法
・準備
１．食料と水分を用意してください。最低20時間、トイレ以外で机を離れてはいけません。
...”
– 日記
“平面上の次のように定義された力学系を考える。 (\dot x,\dot y)=(f(x,y),g(x,y)). ここで S...”
– ポアンカレ・ベンディクソンの定理 - Wikipedia
“広範な範囲で生産的な活動をしたが、その論文には多くの不正確な部分がある。数学者のダルブーはポアンカレの学位論文を読んで、その曖昧さを指摘している。何よりも直観を信...”
– アンリ・ポアンカレ - Wikipedia
“アトラクターは位相空間の部分集合 A であり、以下が成り立つ。 * A は f に対して不動である。すなわち、A の元 s があるとき全ての t について...”
– アトラクター - Wikipedia